שיעור 78: תרגיל אליפסה- 2013 חורף

פרק 7: אליפסה

1🔵 סעיף א: מציאת משוואת האליפסה – מוקד כאמצע קטע ומעגל שקוטרו √17

🔵 סעיף א: מציאת משוואת האליפסה – מוקד כאמצע קטע ומעגל שקוטרו √17

נתונה האליפסה x²a²+y²b²=1 , a>b (ראה ציור). F₁ ו־F₂ הם מוקדי האליפסה, וקודקודיה הם A , A₁ , B , B₁.
נתון כי המוקד F₁ הוא אמצע הקטע AF₂.
דרך מרכז האליפסה ושניים מקודקודיה העבירו מעגל. נתון כי קוטר המעגל הוא √17.
א. מצא את משוואת האליפסה.

המוקדים: F₁(c,0) , F₂(−c,0) ; הקודקודים: A(a,0) , A₁(−a,0) , B(0,b) , B₁(0,−b)

שלב 1 – F₁ אמצע AF₂ (נוסחת האמצע):

x_m=x₁+x₂2

c1=a+(−c)2

כפל בהצלבה:

2c=a−c

🔵 סעיף א: מציאת משוואת האליפסה – מוקד כאמצע קטע ומעגל שקוטרו √17 · המשך

2c=a−c

3c=a

שלב 2 – b בעזרת c:

c²=a²−b²

c²=(3c)²−b²

c²=9c²−b²

b²=8c²

b=√8c (לוקחים רק את החיובי)

🔵 סעיף א: מציאת משוואת האליפסה – מוקד כאמצע קטע ומעגל שקוטרו √17 · המשך

b=√8c (לוקחים רק את החיובי)

שלב 3 – המעגל: המעגל עובר דרך המרכז (0,0) ודרך הקודקודים A ו־B. הזווית בין הצירים היא 90° , והזווית ההיקפית בת 90° נשענת על קוטר ← AB הוא הקוטר:

AB=√17

A(3c,0)=(x₂,y₂) , B(0,√8c)=(x₁,y₁)

נוסחת המרחק: d=√(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²

√17=√(3c−0)²+(0−√8c)²

מעלים בריבוע:

🔵 סעיף א: מציאת משוואת האליפסה – מוקד כאמצע קטע ומעגל שקוטרו √17 · המשך

מעלים בריבוע:

17=(3c)²+(−√8c)²

17=9c²+8c²

17=17c²

c²=1 ← c=1

a=3c=3 ← a²=9

b=√8·1=√8 ← b²=8

מציבים במשוואת האליפסה:

🔵 סעיף א: מציאת משוואת האליפסה – מוקד כאמצע קטע ומעגל שקוטרו √17 · המשך

מציבים במשוואת האליפסה:

✅ x²9+y²8=1

📌 לזכור

💡 באליפסה A(±a,0) , B(0,±b) , F(±c,0) ו־c²=a²−b². מעגל שעובר דרך ראשית הצירים ושתי נקודות על הצירים – הקטע ביניהן הוא קוטר (זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר).

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא